パラメトリック検定／ノンパラメトリック検定（Parametric Test / Nonparametric Test）

パラメトリック検定（Parametric Test）とは、母集団の分布が正規分布などの決まった形をしていると仮定して、平均などのパラメータ（母数）について調べる検定です。ノンパラメトリック検定（Nonparametric Test）は、分布の形を仮定せず、おもにデータの順位や度数を使って調べる検定です。

パラメトリック検定とノンパラメトリック検定の定義と、Aクラス（60・70・80点）とBクラス（0・75・85点）を比べると平均ではA70点・B約53点だが順位の合計ではA11・B10でほぼ互角になる例、3つのポイント（外れ値に強いのはノンパラメトリック、仮定が成り立てばパラメトリックの検定力が高い、観測どうしの独立性はどちらも前提）をまとめた図 — ひと目でわかるパラメトリック検定／ノンパラメトリック検定

簡単な説明

検定とは、グループの差が「たまたま」か「本当にある差」かを、確率を使って判断する方法です。

たとえば、Aクラスの3人が60・70・80点、Bクラスの3人が0・75・85点だったとします。平均はAが70点、Bが約53点で、Aのほうがずっと上に見えます。でも、Bの平均を下げているのは0点の1人だけです。そこで6人を点数の高い順に並べてみます。

順位	1位	2位	3位	4位	5位	6位
点数（クラス）	85（B）	80（A）	75（B）	70（A）	60（A）	0（B）

順位の合計はA11、B10で、ほぼ互角です。0点の人は「6位」になるだけで、0点でも50点でも扱いは同じです。このように、点数そのもの（平均）を使い、分布の形を仮定するのがパラメトリック検定、順位などを使い、分布の形を仮定しないのがノンパラメトリック検定です。

由来

年	主なできごと
1904年	Charles Spearmanが、2つのものの関連の測り方を論じる（順位相関に名前が残る）
1908年	William S. Gossetが「Student」の筆名で、小標本の平均の誤差を論じた論文を発表（t検定のもと）
1937年	Milton Friedmanが、分散分析の正規性の仮定を順位で避ける方法を発表（フリードマン検定）
1945年	Frank Wilcoxonが、順位による2つの比較法（順位和検定と符号順位検定）を示す
1946年	S. S. Stevensが、名義・順序・間隔・比率の4つの尺度水準を提案
1947年	Henry B. MannとDonald R. WhitneyがU統計量による検定を発表
1952年	William H. KruskalとW. Allen Wallisが、一要因分散分析に順位を使う方法を発表（クラスカル・ウォリス検定）

具体的な説明

2つの違い

比較項目	パラメトリック検定	ノンパラメトリック検定
母集団分布の仮定	あり（多くは正規分布。群の分散が等しい等分散性も仮定することが多い）	分布の形を仮定しない（distribution-free とも呼ばれる）
使うデータ	測定値そのもの（平均・分散）	おもに順位や符号、度数
おもな尺度水準	間隔尺度・比率尺度	順序尺度（間隔・比率尺度も順位に直せば使える）
外れ値	影響を受けやすい	影響を受けにくい
仮定が成り立つときの検定力	高い	やや低い

正規分布の意味は確率分布の記事を見てください。ただし「ノンパラメトリック＝仮定ゼロ」ではなく、観測どうしの独立性はどちらの検定でも前提です。

代表的な対応表

場面	パラメトリック検定	ノンパラメトリック検定
対応のない2群	対応のないt検定	マン・ホイットニーのU検定（＝ウィルコクソンの順位和検定と同等）
対応のある2群	対応のあるt検定	ウィルコクソンの符号順位検定
対応のない3群以上	一要因分散分析	クラスカル・ウォリス検定
対応のある3群以上	反復測定（被験者内）分散分析	フリードマン検定
2変数の関連	ピアソンの積率相関係数	スピアマンの順位相関係数

検定で狙われやすいのは「ウィルコクソン」が2つある点です。順位和検定は対応なし（U検定と同等）、符号順位検定は対応ありです。「対応あり」とは、同じ人を2回測るなど、データが1対1で結びついている場合です。

対応の有無と群の数で4つに分け、対応のない2群は対応のないt検定とマン・ホイットニーのU検定、対応のない3群以上は一要因分散分析とクラスカル・ウォリス検定、対応のある2群は対応のあるt検定とウィルコクソンの符号順位検定、対応のある3群以上は反復測定分散分析とフリードマン検定を示し、順序尺度・大きなゆがみと少人数・外れ値ならノンパラメトリック検定を選ぶことを示したフローチャート — 使い分けのフローチャート：対応の有無→群の数→尺度水準・分布・外れ値の順に確かめる

使い分けのポイント

尺度水準：「1位・2位…」や「とても好き〜嫌い」のような順序尺度は、目盛りの間隔が等しいとはいえないため、ノンパラメトリック検定が候補になります。
正規性と人数：分布が大きくゆがみ、しかも人数が少ないときはノンパラメトリック検定が向きます。人数が多ければ、中心極限定理により標本平均の分布が正規分布に近づくため、t検定は多少の非正規性には強くなります。正規性の確認にはシャピロ・ウィルク検定（Shapiro & Wilk, 1965）などが使われます。
外れ値：極端な値が平均を大きく動かすなら、順位を使う検定が安定します。
等分散性：群の分散が違うだけなら、等分散を仮定しないウェルチのt検定（Welch, 1947）という選択肢もあります。分散については散布度／散布図の記事を参照してください。

検定力

検定力とは、本当に差があるときに、それを「有意」と検出できる確率です。順位に直すと情報の一部を捨てるため、正規分布の仮定が成り立てばパラメトリック検定のほうが検定力は高いのが原則です。ただし差は大きくありません。Hodges と Lehmann（1956）は、連続分布で2群の位置がずれているだけの場合、順位和検定のt検定に対する漸近効率（同じ検定力を得るのに必要な人数の比の目安）が、どんな分布でも0.864を下回らないことを示しました（クラスカル・ウォリス検定と分散分析のF検定でも同じ）。裾の重い分布では、逆に順位の検定が有利なこともあります。

χ²検定の扱い

「男女で好きな教科の割合が違うか」など、名義尺度の度数を比べるのがχ²（カイ二乗）検定（Pearson, 1900）です。母集団に正規分布などを仮定しないため、ノンパラメトリック検定に含めて説明されることがあります。ただし統計量がχ²分布に近似的に従うことを使うので、期待度数が小さいセルが多いと近似が不正確になり、その場合はフィッシャーの直接確率検定などを使います。

実験や観察の方法と結論

Wilcoxon（1945）は、2つの処理を比べるデータで、測定値を順位に置きかえ、一方の群の順位の合計（対応がある場合は、差の大きさの順位に差の符号をつけた合計）で差を判断する方法を示しました。Mann と Whitney（1947）は、題名どおり「一方の確率変数が他方より確率的に大きいか」を調べる検定としてU統計量を定式化しました。このためU検定は、単純な「中央値の差の検定」ではなく、一方の群の値が大きくなりやすいかの検定と理解するのが正確です。

例文

「満足度を5段階の順序尺度でたずねたので、2群の比較にはt検定ではなく、マン・ホイットニーのU検定を用いました。」

「同じ参加者の反応時間を3条件で測ると、分布が右に大きく裾を引き外れ値もあったため、フリードマン検定で条件差を確かめました。」

疑問

Q: 迷ったら、仮定が少ないノンパラメトリック検定を使えば安全ですか？

A: いつも安全とは限りません。仮定が成り立つ場合は検定力がやや下がり、平均の差を知りたいのに順位の検定をすると問いと答えがずれます。尺度水準・分布の形・人数・知りたいことを合わせて選びます。

Q: 「パラメトリック」のパラメータとは何ですか？

A: 分布の形を決める数（母数）のことです。正規分布なら平均と分散の2つで形が決まります。パラメトリック検定は、分布の形を仮定したうえで母数について推測します。

Q: 正規性の検定で有意にならなければ、データは正規分布だといえますか？

A: いいえ、いえません。有意でないのは「正規分布からずれているとはいえない」というだけで、正規分布であることの証明ではありません。人数が少ないと、ずれがあっても検出しにくくなります。ヒストグラムなどで形も確かめましょう。

理解度を確認する問題

問題1. 同じ参加者12名が、3種類の課題それぞれの好ましさを「1位・2位・3位」と順位づけた。課題による違いを調べる検定として、最も適切なものはどれか。

A. クラスカル・ウォリス検定
B. ウィルコクソンの符号順位検定
C. フリードマン検定
D. 反復測定分散分析

正解：C 同じ人が3つの課題に答えているので対応のある3群、しかもデータは順位（順序尺度）なので、フリードマン検定です。Aは対応のない3群以上、Bは対応のある2群の検定です。Dは対応のある3群以上に使えますが、平均を使うパラメトリック検定なので順位データには向きません。「対応の有無」「群の数」「尺度水準」の3点を順に確かめるのがコツです。

問題2. パラメトリック検定とノンパラメトリック検定に関する説明として、最も適切なものはどれか。