分散分析（Analysis of Variance: ANOVA）とは、3つ以上のグループの平均値に差があるかを、一度の検定で調べる方法です。データのばらつきを「グループの違い」と「グループの中の個人差」に分け、その比（F比）で判断します。
簡単な説明
3つのクラスで別々の教え方をして、テストの平均点が A組5点、B組7点、C組9点だったとします。教え方による本当の差でしょうか、たまたまでしょうか。
ヒントはばらつきです。クラスの中で点数がばらばらなら、平均の差2点は「たまたま」でも起こりそうです。クラスの中の点数がそろっていて平均だけが離れていれば、「教え方の差」と考えたくなりますね。
ざわざわした教室（グループの中のばらつき＝雑音）で、先生の声（グループの間のばらつき＝信号）が聞こえるか。この感覚を数字にしたのが分散分析です。
由来
分散分析を作ったのは、イギリスの統計学者・遺伝学者 Ronald A. Fisher です。Fisherは1919年からロザムステッド農事試験場（Rothamsted Experimental Station）で働き、肥料や品種による作物の収量の違いを分析しました。
その成果をまとめたのが、1925年の著書『Statistical Methods for Research Workers』で、第7・8章で分散分析を説明しています。分散分析は畑の実験から生まれた方法なのです。
具体的な説明
t検定をくり返してはいけない理由
3群で「AとB」「AとC」「BとC」と3回t検定をくり返すと、1回ごとの有意水準は5％でも、本当は差がないのに「差がある」と判断する第1種の誤りがどれか1回でも起こる確率がふくらみます（検定が独立と仮定した目安で、3回なら1−0.95³≒14％、4群6回なら約26％）。そこで分散分析で一度に調べます。
F比のしくみ
全体のばらつき（平方和）を、群間変動（各群の平均と全体の平均のずれ）と群内変動（各人の値と自分の群の平均のずれ）に分けます。それぞれを自由度で割ったものが平均平方で、その比がF比です（平方和は散布度／散布図を参照）。
帰無仮説は「すべての母平均が等しい」で、これが正しければF比は1前後になり、群間のばらつきが大きいほどF比は大きくなります。上の例で、A組4・5・6点、B組6・7・8点、C組8・9・10点（各3人）とすると、分散分析表は次のようになります。
| 変動因 | 平方和（SS） | 自由度（df） | 平均平方（MS） | F比 |
|---|---|---|---|---|
| 群間（教え方） | 24 | 2（群の数−1） | 12 | 12.0 |
| 群内（誤差） | 6 | 6（全人数−群の数） | 1 | |
| 全体 | 30 | 8（全人数−1） |
平方和も自由度も「群間＋群内＝全体」です（24＋6＝30、2＋6＝8）。自由度（2, 6）のF分布で5％水準の臨界値は約5.14なので、F＝12.0は有意で、論文ではF(2, 6) = 12.00, p = .008 のように書きます。
ただし、わかるのは「どこかの平均に差がある」までです。どの群の間かを調べるのが事後検定（多重比較）で、TukeyのHSD法や、有意水準を検定の回数で割るBonferroni法などがあります。なお、2群なら分散分析とt検定は同等です（F＝t²）。
要因計画：一要因と二要因
独立変数を要因、その中の条件を水準と呼びます。「教え方（3水準）」だけなら一要因、「教え方×学年（2水準）」なら二要因分散分析です。二要因では変動を「Aの主効果・Bの主効果・A×Bの交互作用・誤差」に分け、自由度はそれぞれ a−1、b−1、(a−1)(b−1)、N−ab です（被験者間の場合。a・bは水準数、Nは全人数）。
| 用語 | 意味 | 例 |
|---|---|---|
| 主効果 | 1つの要因そのものの効果 | 学年に関係なく教え方Cが高い |
| 交互作用 | 一方の要因の効果が、もう一方の要因の水準によって変わること | 教え方Cは1年生にはよく効くが、2年生には効かない |
| 単純主効果 | もう一方の要因の水準ごとに調べた効果 | 1年生だけで教え方の差を見る |
交互作用が有意なら、主効果だけでまとめず単純主効果を確かめます。
被験者間計画と被験者内計画
| 比較項目 | 被験者間（対応なし） | 被験者内（対応あり・反復測定） |
|---|---|---|
| 割り当て | 各条件に別の人 | 同じ人がすべての条件を受ける |
| 長所 | 順序の影響（練習・疲労）がない | 個人差を誤差から除け、少人数でも差を検出しやすい |
| 注意点 | 個人差が誤差にふくまれる | 順序効果への対策（カウンターバランス）が必要。球面性の前提がある |
被験者間と被験者内の要因を両方ふくむ計画は混合計画です。
前提と効果量
分散分析はパラメトリック検定で、①正規性（各群の母集団が正規分布）、②等分散性（各群の母分散が等しい）、③独立性（観測どうしが独立）を前提にします。反復測定では、条件の差のばらつきがそろっているという球面性も前提で、Mauchlyの検定で確かめ、崩れていれば自由度を小さく補正するGreenhouse–Geisserの修正などを使います。前提が大きく崩れれば、対応なしならクラスカル・ウォリス検定、対応ありならフリードマン検定が候補です（パラメトリック検定／ノンパラメトリック検定）。
有意かどうかは人数に左右されるので、差の大きさは効果量で示します。代表のη²（イータ2乗）は効果の平方和÷全体の平方和で、群の違いで説明できるばらつきの割合です（例では24÷30＝.80）。Cohen（1988）の目安は.01が小、.06が中、.14が大です。二要因以上では、ほかの要因の変動を除いて計算する偏η²（partial η²）もよく報告されます（一要因ではη²と同じ値）。
実験や観察の方法と結論
Fisherは同書の第8章で、分散分析を畑の実験の計画と結びつけました。処理を反復して反復どうしの差を「誤差の物差し」にし、配置は無作為化します。土地のむらはブロック分けや、各処理が各行・各列に1回ずつ入る5×5のラテン方格で取り除きます。
結論は、分析の方法と実験の計画はセットだということです。心理学の無作為割り当てやカウンターバランスも、この考え方につながります。
例文
「3種類の記憶方略の再生数を一要因分散分析で比べ、有意だったのでTukeyのHSD法で多重比較を行いました。」
「教え方と学年の交互作用が有意だったので、学年ごとに教え方の単純主効果を検討しました。」
疑問
Q: 「平均の差」を調べるのに、なぜ「分散」分析という名前なのですか？
A: データのばらつき（分散）を群間と群内に分けて比べることで、平均の差を判断するからです。
Q: 分散分析が有意なら、すべての群の間に差があるのですか？
A: いいえ。わかるのは「少なくとも1か所に差がある」ことだけで、どこかは多重比較で調べます。
Q: 主効果が有意でなければ、その要因は関係ないといえますか？
A: いいえ。交互作用があると、条件によってプラスとマイナスの効果が打ち消し合い、主効果が小さく見えることがあります。
理解度を確認する問題
問題1. 4条件の平均値を比べるとき、有意水準5％のt検定を全組み合わせでくり返すのが不適切な理由として、最も適切なものはどれか。
- A. 1回ごとのt検定の有意水準が、5％より大きくなってしまうから
- B. 検定全体として、第1種の誤りを1回以上犯す確率が5％より大きくなるから
- C. t検定は2群の比較しかできないため、4群のデータには使えないから
- D. 検定の回数が増えるほど、第2種の誤りが起こらなくなるから
正解：B 4群なら6回の検定で、どれか1回でも誤って「差がある」とする確率は約26％になります。Aはまぎらわしいですが誤りで、1回ごとの有意水準は5％のままで、ふくらむのは検定全体の確率です。Bonferroni法なら0.05÷6≒0.008で判定します。Cは誤りで、2群ずつなら計算できます。Dは誤りで、第2種の誤り（差の見逃し）はなくなりません。
問題2. 3群・各10人（計30人）の一要因分散分析に関する説明として、最も適切なものはどれか。
- A. F比は、群内の平均平方を群間の平均平方で割った値である
- B. F比が有意であれば、すべての群の組み合わせの間に有意な差があるといえる
- C. 帰無仮説が正しいとき、F比は1に近い値になりやすい
- D. 自由度は、群間が29、群内が27である
正解：C 帰無仮説が正しければ、群間と群内の平均平方はどちらも誤差の大きさを推定するので、F比は1前後になります。Aは分子と分母が逆です。Bは誤りで、わかるのは「どこかに差がある」までです。Dは誤りで、群間は3−1＝2、群内は30−3＝27で、29は全体の自由度です。
問題3. 「睡眠時間（短・長）」×「課題の難しさ（易・難）」の二要因分散分析で、難しい課題でだけ睡眠時間による成績の差が大きく現れた。この結果の解釈として、最も適切なものはどれか。
- A. 睡眠時間の主効果が有意なら、交互作用は解釈しなくてよい
- B. 睡眠時間の効果が課題の難しさによって変わるので、交互作用が考えられる
- C. 課題の難しさの主効果が有意でなければ、課題の難しさは成績に関係しない
- D. 交互作用は、要因ごとに一要因分散分析を2回行えば調べられる
正解：B 一方の要因（睡眠時間）の効果が、もう一方の要因（課題の難しさ）の水準で変わるのが交互作用です。Aは誤りで、交互作用があれば単純主効果を確かめます。Cは誤りで、交互作用で効果が打ち消し合うことがあります。Dは誤りで、交互作用は2要因を同時に分析しないと調べられません。
関連キーワード
- t検定（t-test）
- 多重比較（Multiple Comparisons）
- 効果量（Effect Size）
- パラメトリック検定／ノンパラメトリック検定（Parametric Test / Nonparametric Test）
- 散布度／散布図（Measures of Dispersion / Scatter Plot）
- 独立変数（Independent Variable）
- カウンターバランス（Counterbalancing）
- 確率分布（Probability Distribution）
関連論文
まずこの1本
Lakens, D.（2013）Calculating and reporting effect sizes to facilitate cumulative science: A practical primer for t-tests and ANOVAs. Frontiers in Psychology, 4, 863.
t検定と分散分析の効果量を、被験者間・被験者内計画に分けて解説した入門論文で、η²、偏η²、かたよりを小さくしたω²などを整理しています。試験では、η²と偏η²の違い、Cohenの目安（.01／.06／.14）、有意性と効果の大きさは別という点を押さえましょう。
https://doi.org/10.3389/fpsyg.2013.00863その他の参考文献
Parolini, G.（2015）“The emergence of modern statistics in agricultural science: Analysis of variance, experimental design and the reshaping of research at Rothamsted Experimental Station, 1919–1933.” Journal of the History of Biology, 48(2), 301–335.
概要 1919〜1933年のロザムステッドで分散分析と実験計画法が生まれ、農学研究を変えた過程をたどった科学史の論文です。
https://doi.org/10.1007/s10739-014-9394-zほそめがねのひとこと
分散分析の「交互作用」で最初はつかみにくかったですか？ どこがですか？
覚え方
①F比：「F＝外（群間）÷内（群内）」。クラスの外どうしの差が内のばらつきより大きければ「差あり」。
②t検定のくり返し：「回数が増えれば、まぐれ当たりも増える」（第1種の誤りの増加）。
③交互作用：「相手しだいで効きめが変わる」。グラフの線が平行なら交互作用なし、交差したり開いたりすれば交互作用ありのサインです。
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