散布度／散布図（Measures of Dispersion / Scatter Plot）

散布度（Measures of Dispersion）とは、データが平均などの中心のまわりにどれくらい散らばっているかを1つの数で表す指標です。散布図（Scatter Plot）は、2つの変数の値を点で描き、2つの関係の形を目で確かめるグラフです。

散布度と散布図の違いをまとめた図。データ2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9の平均5と±1SD（SD＝2）を示すドットプロットと、勉強時間と得点の散布図（r＝0.9）を並べ、3つのポイントと試験に出るかも？の1行を載せている。 — ひと目でわかる散布度と散布図

簡単な説明

2つのクラスで、テストの平均点がどちらも60点だったとします。でも、Aクラスは全員が55〜65点、Bクラスは20点の人も100点の人もいる、ということがありえます。平均が同じでも、散らばり方はまったく違うのです。この「散らばり」を数で表したものが散布度です。

平均がどちらも60点でも、Aクラスは55〜65点に集まり、Bクラスは20点から100点まで広く散らばっていることを点で示したイメージ図。 — 平均が同じでも、散らばり方は違う（イメージ図）

一方、「勉強時間が長い人ほど点数が高いか」を知りたいときは、1人を1つの点として、横に勉強時間、縦に点数をとって点を打ちます。これが散布図です。点が右上がりに並べば「長いほど高い」傾向がある、とひと目でわかります。名前は似ていますが、散布度は「数」、散布図は「グラフ」です。

由来

年	主なできごと
1886年	Francis Galtonが、親と子の身長の関係を調べた論文を発表。Galtonによる散布図の利用が相関と回帰の発見につながった（Friendly & Denis, 2005）
1893〜94年	Karl Pearsonが、1893年に発表し翌年Philosophical Transactionsに載った論文で、正規曲線の散らばりを標準偏差（standard deviation）と呼ぶと定める
1918年	Ronald A. Fisherが遺伝の論文で、標準偏差の2乗を分散（variance）と名づける
1973年	Francis J. Anscombeが、統計量がほぼ同じなのに散布図がまったく違う4組のデータ（アンスコムの例）を発表

具体的な説明

おもな散布度

心理学のデータは、同じ条件でも人によって値が違います。この個人差の大きさを要約するのが散布度です。データ「2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9」（8人、平均5）で計算してみます。

指標	求め方	例の値	特徴
範囲（レンジ）	最大値−最小値	9−2＝7	簡単だが両端の値だけで決まり、外れ値に弱い
四分位範囲	第3四分位数−第1四分位数	6−4＝2	真ん中50％の幅。外れ値に強い。半分にしたものが四分位偏差（例では1）
分散	偏差（値−平均）の2乗の平均	32÷8＝4	単位が元の2乗（点²）になる
標準偏差（SD）	分散の正の平方根	√4＝2	元のデータと同じ単位で読める
変動係数（CV）	標準偏差÷平均	2÷5＝0.4	単位や平均の大きさが違うデータの散らばりを比べられる

偏差は−3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4で、合計はかならず0になります。そのため、偏差をそのまま平均しても散らばりは測れず、2乗してから平均するのが分散です。四分位数は、ここではデータを下半分（2, 4, 4, 4）と上半分（5, 5, 7, 9）に分け、それぞれの中央値をとりました。求め方には流儀がいくつかあり、ソフトによって値が少し変わることがあります。

nで割るか、n−1で割るか

上の分散は、偏差の2乗和を人数nで割りました。手元のデータを記述するだけならこれで十分です。しかし、標本から母集団の分散を推定するときにnで割ると、平均すると小さめに出てしまいます。そこでn−1で割ったものを不偏分散と呼び、その期待値は母分散に一致します。例では32÷7≒4.57、その平方根は約2.14です。なお、不偏分散の平方根は、母標準偏差の厳密な不偏推定量ではありません。「標本分散」がどちらを指すかは教科書で違うので、分母で確かめましょう。

標準偏差と変動係数の読み方

データが正規分布に近ければ、平均±1SDに全体の約68％、±2SDに約95％が入ります（確率分布の記事も参照）。また、値から平均を引いてSDで割ったものが標準得点（z得点）で、偏差値は50＋10zです。

変動係数は、たとえば身長（平均160cm、SD 8cm → 0.05）と体重（平均50kg、SD 6kg → 0.12）のように、単位の違う量の散らばりを比べるときに使います（数値は説明用の仮の値）。ただし、0が「まったくない」を意味する比率尺度でないと意味をもちません（摂氏の気温などは不可）。

散布図の読み方

散布図では、①向き（右上がり＝正の相関、右下がり＝負の相関）、②強さ（直線のまわりへの点の集まり具合）、③形（直線か曲線か）、④外れ値の4点を見ます。直線的な関係の強さを−1〜＋1で表すのがピアソンの積率相関係数 rで、2変数の共分散を、それぞれの標準偏差の積で割って求めます。

例として、5人の勉強時間x（1, 2, 3, 4, 5時間）と小テスト得点y（2, 4, 3, 5, 6点）では、どちらも平均からの偏差の2乗和が10、偏差の積の和が9なので、r＝9÷√(10×10)＝0.9です。

注意点	内容
曲線的な関係	U字型の関係があっても、rは0に近くなることがある。r＝0は「直線的な関係がない」という意味
外れ値	1点だけで、rが大きく上がったり下がったりする
範囲の制限	合格者だけなど、値の範囲をしぼって集めると、\|r\|は小さくなりやすい（切断効果・選抜効果）
因果	相関があっても、どちらが原因かは決まらない。第3の変数が両方に影響している場合もある
単位の変更	正の数をかけたり、定数を足したりしてもrは変わらない（負の数をかけると符号だけ逆になる）

検定で問われやすいポイント

論点	押さえること
全員に定数を足す	平均は同じだけ動くが、散布度（範囲・SD・分散）は変わらない
全員をb倍する	SDと範囲は\|b\|倍、分散はb²倍
尺度水準	順序尺度なら四分位範囲、間隔・比率尺度ならSDも使える。CVは比率尺度のみ

実験や観察の方法と結論

Anscombe（1973）は、11組ずつのx・yからなる4つのデータセットを作りました。4つとも、xの平均9・不偏分散11、yの平均約7.5・不偏分散約4.12、相関係数約0.82、回帰直線 y＝3＋0.5x がほぼ一致します。ところが散布図にすると、1つめはふつうの直線的な関係、2つめはきれいな曲線、3つめは1点の外れ値以外が一直線、4つめはxがほぼ全部同じ値で、1点だけで相関が生まれている形でした。

結論は、要約統計量だけでデータを判断せず、まず図を描くべきだということです。Matejka & Fitzmaurice（2017）は、平均・SD・相関係数が小数第2位まで同じで散布図は恐竜形などまったく違うデータを、コンピュータで作る方法を示しました。