度数分布（Frequency Distribution）とは、データをいくつかの区間（階級）に分け、それぞれの区間にいくつのデータが入るか（度数）を整理したものです。表にしたものが度数分布表、グラフにしたものがヒストグラムです。
簡単な説明
クラス30人のテストの点数が、名簿の順に「72、58、91、66……」と並んでいるところを想像してください。眺めるだけでは「何点くらいの人が多いのか」はわかりませんね。
そこで、「60点以上70点未満は何人」「70点以上80点未満は何人」と、区間ごとに人数を数えてみます。黒板に区間を書き、「正」の字で1人ずつ数えていくイメージです。すると、「60点台がいちばん多く、90点台は少ない」といったデータ全体の形が見えてきます。この整理のしかたが度数分布です。
由来
| 年 | 主なできごと |
|---|---|
| 1895年 | Karl Pearsonが、論文の脚注で、histogramは自分の統計学の講義で導入した用語で、「底辺の範囲に入る度数を面積で示す柱の図」だと説明。同じ論文で、度数が最大になる値をmode（最頻値）と呼ぶと便利だと述べる |
| 1926年 | Herbert A. Sturgesが、階級の決め方を論じた短い論文を発表。のちにスタージェスの公式として広まる |
具体的な説明
度数分布表のしくみ
次の表は、30人のテストの点数をまとめた説明用の自作の例です（実在のデータではありません）。
| 階級（点） | 階級値 | 度数 | 相対度数 | 累積度数 | 累積相対度数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 40以上50未満 | 45 | 2 | 0.07 | 2 | 0.07 |
| 50以上60未満 | 55 | 5 | 0.17 | 7 | 0.23 |
| 60以上70未満 | 65 | 9 | 0.30 | 16 | 0.53 |
| 70以上80未満 | 75 | 8 | 0.27 | 24 | 0.80 |
| 80以上90未満 | 85 | 4 | 0.13 | 28 | 0.93 |
| 90以上100以下 | 95 | 2 | 0.07 | 30 | 1.00 |
| 合計 | － | 30 | 1.00 | － | － |
| 用語 | 意味（表での例） |
|---|---|
| 階級の幅 | 区間の広さ（10点）。境目は「以上」「未満」で重なりも抜けもなく決める |
| 階級値 | 階級の真ん中の値（60以上70未満なら65点） |
| 相対度数 | 度数÷総度数（9÷30＝0.30）。人数の違う集団を比べるときに使う |
| 累積度数 | 小さい階級からの度数の合計（「70点未満は16人」） |
| 累積相対度数 | 累積度数÷総度数（「80点未満は80％」） |
相対度数は四捨五入のため、足すと1.01です（本来は1）。度数最大の階級の階級値（65点）は最頻値として使えます。表から平均を求めるときは、全員が階級値をとったとみなし、（45×2＋55×5＋65×9＋75×8＋85×4＋95×2）÷30＝2080÷30≒69.3点とします。個々の点数は失われているので、元のデータの平均とは少しずれることがあります。
ヒストグラムと度数多角形
ヒストグラムは、横軸に階級、縦軸に度数をとり、柱をすき間なく並べたグラフです。度数を表すのは柱の面積で、高さはその階級の密度（幅あたりの度数）です。たとえば上の表の80点以上を1つの階級（幅20点、度数6）にまとめると、幅が2倍なので、高さは6ではなく半分の3にします。6のまま描くと、人数が増えたように見えてしまいます。
各柱の上の辺の中点を折れ線で結んだものが度数多角形（度数折れ線）です。両端に度数0の階級を足して横軸までつなぐ描き方もあります。2つの集団を重ねて比べやすいのが利点です。
棒グラフとの違い
| 比較項目 | ヒストグラム | 棒グラフ |
|---|---|---|
| 使うデータ | 身長・点数・時間など量的データの分布 | 項目ごとの量の大小 |
| 横軸 | 数値の区間（階級） | 項目（カテゴリ） |
| 何で表すか | 柱の面積 | 棒の高さ |
| 並べ方 | 階級の順に、すき間なく | 多い順など目的に合わせて自由 |
ヒストグラムがすき間なく並ぶのは、身長や時間のような連続量（Continuous Variable）を、とぎれなく区切っているからです。
階級の幅の決め方
階級の幅しだいでヒストグラムの形は変わって見えます。細かすぎるとでこぼこに、粗すぎると特徴がつぶれます。総務省統計局は、まず5〜10くらいの階級数で描いて調整する方法を紹介しています。目安の1つがスタージェスの公式です。
階級の数 k ＝ 1 ＋ log2n ≒ 1 ＋ 3.32 log10n（n はデータの数）
n＝64 なら 26＝64 なので 1＋6＝7 階級、n＝100 なら約7.6で約8階級です。ただし、データが多いと階級が少なすぎてなめらかになりすぎることが知られ、Hyndman（1995）の短いノートは導き方そのものの誤りを指摘しています。標準偏差を使う Scott（1979）や四分位範囲を使う Freedman & Diaconis（1981）など、階級の幅を決める方法もあります。
分布の形と代表値
| 分布の形 | 特徴 | 代表値の位置（目安） |
|---|---|---|
| 左右対称・単峰 | 山が1つで左右がほぼ同じ。代表は釣鐘形の正規分布 | 平均値＝中央値＝最頻値 |
| 右に歪んだ（正の歪み） | 右（大きい値の側）に裾が長い | 最頻値＜中央値＜平均値 |
| 左に歪んだ（負の歪み） | 左に裾が長い。やさしいテストで高得点に集まった場合など | 平均値＜中央値＜最頻値 |
| 多峰（二峰） | 山が2つ以上 | 性質の違う集団が混ざっている可能性を考える |
歪みの向きは山の側ではなく裾がのびる側で呼びます。平均値は極端な値に引っぱられやすいため、上の順になりやすいのです。ただし目安で、離散的なデータや多峰の分布などでは成り立たない例もあります（von Hippel, 2005）。心理学の研究でも、平均値や検定の前に分布の形や外れ値、入力ミスを確かめるのが基本です。そのうえで中心は代表値で、ばらつきは散布度（Measures of Dispersion）で数にまとめます。
観察の方法と結論
方法：総務省統計局の家計調査報告（貯蓄・負債編、2025年平均、二人以上の世帯）は、貯蓄現在高の階級ごとに世帯の割合を示しています。
結論：平均値2059万円を下回る世帯が66.1％と約3分の2を占め、統計局は「貯蓄現在高の少ない階級に偏った分布」としています。貯蓄0の世帯も含めた中央値（参考値）は1167万円で、少数の大きな値が平均値を引き上げる右に歪んだ分布の典型例です。
例文
「平均値を報告する前に、まず度数分布表とヒストグラムを作って、外れ値や山が2つないかを確かめました。」
「2つの学校は人数が違うので、度数ではなく相対度数の度数多角形を重ねて比べました。」
疑問
Q: ヒストグラムと棒グラフは、すき間があるかどうかだけが違いなのですか？
A: いいえ。大事なのは、ヒストグラムは面積で度数を表すことです。そのため階級の幅が違うときは高さを調整します。棒グラフは項目ごとの量を高さで比べるグラフで、並べ順も自由です。
Q: 階級の数は、スタージェスの公式で決めれば正解なのですか？
A: いいえ。公式は目安です。幅を変えたヒストグラムをいくつか描いて、分布の特徴が見えるものを選ぶのが実際的です。
Q: 相対度数と確率は同じものですか？
A: 同じではありません。相対度数は手元のデータで実際に数えた割合、確率は理論上の起こりやすさです。正しく作られたサイコロを何回も振るほど、各目の相対度数は確率の6分の1に近づいていきます。
理解度を確認する問題
問題1. ヒストグラムに関する説明として、最も適切なものはどれか。
- A. 性別や血液型などの質的データの人数を比べるのに最も適したグラフである
- B. 柱の面積が度数を表すため、階級の幅が2倍の階級は、高さを半分にして描く
- C. 棒グラフと同じく、柱の間にすき間をあけ、度数の多い順に並べかえてもよい
- D. スタージェスの公式で求めた階級の数を使えば、データの数にかかわらず最適なヒストグラムになる
正解：B ヒストグラムは面積で度数を表します。Aは棒グラフなどの使い方で、ヒストグラムは量的データの分布を見るグラフです。Cも棒グラフの性質で、ヒストグラムは階級順にすき間なく並べます。Dはまぎらわしいですが誤りで、公式は目安にすぎず、データが多いと階級が少なすぎると批判されています。
問題2. ある質問紙の得点が、低い得点のあたりに多く集まり、高い得点の側に裾が長くのびた単峰の分布になった。分布の名称と、一般に見られる代表値の大小関係の組み合わせとして、最も適切なものはどれか。
- A. 左に歪んだ分布 ― 平均値＜中央値＜最頻値
- B. 右に歪んだ分布 ― 最頻値＜中央値＜平均値
- C. 右に歪んだ分布 ― 平均値＜中央値＜最頻値
- D. 左に歪んだ分布 ― 最頻値＜中央値＜平均値
正解：B 歪みは裾がのびる側で呼ぶので、右に裾がのびたこの分布は右に歪んだ分布（正の歪み）です。平均値は裾の大きな値に引っぱられて右に寄り、最頻値は左寄りの山のてっぺんにあります。AとDは、山が左にあることから「左に歪んだ」と考えるまちがいです。Cは名称は正しいものの、大小関係が左に歪んだ分布のものです。この関係は目安で、例外もあります。
問題3. 上の自作の度数分布表（30人のテストの点数）について、正しいものはどれか。
- A. 70点以上80点未満の階級の累積度数24は、70点以上の人が24人いることを表す
- B. 最頻値として使う値は、度数が最大の階級の階級値である65点である
- C. 相対度数は、各階級の度数を階級の幅で割った値である
- D. 中央値は、70点以上80点未満の階級に入っている
正解：B 度数9が最大の60以上70未満の階級値65点です。Aは誤りで、累積度数24は「80点未満が24人」という意味です（70点以上は30−7＝23人）。Cは誤りで、相対度数は度数÷総度数です（度数÷幅はヒストグラムの高さ＝密度）。Dは誤りで、真ん中の15・16番目の人は、累積度数が7から16に増える60以上70未満の階級に入ります。
関連キーワード
- ヒストグラム（Histogram）
- 度数多角形（Frequency Polygon）
- 相対度数（Relative Frequency）／累積度数（Cumulative Frequency）
- 代表値（Measures of Central Tendency）
- 散布度（Measures of Dispersion）
- 連続量（Continuous Variable）
- 確率分布（Probability Distribution）
- 正規分布（Normal Distribution）
関連論文
まずこの1本
Pearson, K.（1895）Contributions to the mathematical theory of evolution. II. Skew variation in homogeneous material. Philosophical Transactions of the Royal Society of London (A), 186, 343–414.
歪んだ度数分布に、いくつかの型の曲線を当てはめる方法を示した論文です。histogramとmode（最頻値）という語が登場する論文でもあります。試験対策としては、ヒストグラムは面積で度数を表すこと、歪みの向きと平均値・中央値・最頻値の大小関係を押さえましょう。
https://doi.org/10.1098/rsta.1895.0010その他の参考文献
Sturges, H. A.（1926）“The choice of a class interval.” Journal of the American Statistical Association, 21(153), 65–66.
概要 スタージェスの公式のもとになった論文です。理想的な分布を二項係数で考え、n＝2k−1 から k＝1＋log2n を導いています（Hyndman, 1995 による整理）。
https://doi.org/10.1080/01621459.1926.10502161ほそめがねのひとこと
ヒストグラムと棒グラフの違い、相対は割り算、累積は足し算で覚えるとわかりやすいですよね。
覚え方
①「ヒストは面積、棒は高さ」。ヒストグラムは柱の面積で度数を表し、棒グラフは棒の高さで量を比べます。
②「相対は割り算、累積は足し算」。相対度数は度数÷総度数、累積度数は小さい階級からの足し算です。
③「歪みはしっぽの向き、平均はしっぽに引っぱられる」。しっぽ（裾）が右なら右に歪んだ分布で、平均値がいちばん右に来ます。
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